Ecuaciones de Navier-Stokes

En el año 2000 la fundación Clay de matemáticas fundó los 7 problemas del milenio, los cuales tienen una recompensa de un millón de dólares para la persona que logre resolver un problema, en los que se encuentran: P vs NP, La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, Yang-Mills y el salto de masa, Las ecuaciones de Navier-Stokes, La conjetura de Hodge, La hipótesis de Riemann y la Conjetura de Poincaré. En este artículo se profundizará las ecuaciones de Navier-Stokes.

Estas ecuaciones llevan el nombre en honor al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y al físico y matemático angloirlandés George Gabriel Stokes. Constituyen un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que proporcionan una descripción del movimiento de un fluido viscoso. Estas ecuaciones rigen diversos fenómenos, incluyendo la dinámica atmosférica, las corrientes oceánicas, así como el flujo alrededor de vehículos o proyectiles, abarcando en general cualquier situación que implique fluidos newtonianos.

Desde su formulación, estas ecuaciones han demostrado su capacidad para describir con precisión el movimiento de los fluidos, tanto en situaciones caóticas, caracterizadas por flujos turbulentos, como en situaciones armoniosas, donde prevalece un flujo laminar. Sin embargo, persisten incógnitas por resolver, como la transición entre un flujo laminar y uno turbulento, y viceversa. A pesar de la idoneidad en la mecánica newtoniana, la capacidad de dichas ecuaciones para predecir con certeza el movimiento de un fluido desde su estado inicial sigue siendo un desafío aún no resuelto hasta la fecha.

La física y la ingeniería para modelar dichas ecuaciones, recurre a los métodos numéricos para obtener valores aproximados. La rama que estudia la mecánica de fluidos que se encarga de obtener dicha aproximación, se llama “Dinámica de fluidos computaciones”

¿Cuáles son las ecuaciones de Navier-Stokes?

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones de derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de fluidos (solido o gas) en su entorno. Dichas ecuaciones formuladas en el siglo XIX, no cuentan con una solución general para la mayoría de espacios R³, salvo para situaciones concretas. La interacción física la podemos resumir como un modelo matemático simple que describe el flujo de un fluido incomprensible viscoso.

Modelo y descripción física.

La ecuación de Navier-Stokes es una familia de ecuaciones que considera todas las interacciones físicas, por mencionar algunas el calor, densidad, momento o viscosidad – Existen varios modelos matemáticos en distintas interacciones para describir una interacción física, como lo puede ser el ejemplo del lanzamiento de una piedra, donde se toman varias consideraciones; como lo son la velocidad inicial, ángulo, fuerza de gravedad y tiempo; más sin embargo también se desprecian ciertos factores como lo son la forma de la piedra, la fricción con el aire, el momento angular en su rotación dentro de su mismo eje o el cambio de su trayectoria por alguna brisa. Sin considerar las características anteriormente mencionadas, el trazo de la trayectoria se aproximaría al trayecto que sigue una parábola; más sin embargo si las consideramos el trazo se alejaría de ser una parábola.

Incomprensibilidad y ecuación infinitesimal.

La primera afirmación de la ecuación de Navier Stokes es que el flujo considerado es incompresible, es decir que la densidad es constante. Alzando la ecuación infinitesimal para coordenadas de Lagrange

det$$D_xY(x,t)=1$$

En coordenadas de Lagrange

$$D_{x_1}v_1+D_{x_2}v_2D_{x_3}v_3=div\vec v=0$$

ρ es la densidad del fluido.
v=(v_x,v_y,v_z) es la velocidad del fluido.
p es la presión.
μ es la viscosidad dinámica del fluido.
∇ es el operador nabla, que representa el gradiente.
g_x,g_y,g_z son las componentes del campo gravitatorio en las direcciones x,y,z.

La transición de un flujo laminar a uno turbulento es un problema complejo y es un área activa de investigación en la mecánica de fluidos. Aunque las ecuaciones de Navier-Stokes son fundamentales, todavía hay desafíos para comprender completamente ciertos aspectos del comportamiento de los fluidos, como la transición entre flujos laminar y turbulento, y estos aspectos forman parte de problemas no resueltos en la física de fluidos.

Aplicaciones

Dinámica de Fluidos Computacional (CFD): Las ecuaciones de Navier-Stokes son fundamentales en la simulación numérica de flujos fluidos mediante métodos de dinámica de fluidos computacional. Esta herramienta se utiliza en la ingeniería para predecir y optimizar el comportamiento de fluidos alrededor de objetos y estructuras.
Aerodinámica: En la industria aeroespacial y automotriz, las ecuaciones de Navier-Stokes son esenciales para entender y predecir el flujo de aire alrededor de aviones, automóviles y otros vehículos. Esto es crucial para el diseño aerodinámico y la eficiencia del combustible.
Meteorología y Oceanografía: Las ecuaciones de Navier-Stokes son utilizadas en la modelización numérica del clima y en la simulación de corrientes oceánicas. Ayudan a comprender y predecir los patrones climáticos, las corrientes marinas y la circulación atmosférica.
Ingeniería de Procesos: En la industria química y de procesos, estas ecuaciones son utilizadas para modelar y simular el transporte de sustancias en fluidos, facilitando el diseño y la optimización de procesos industriales.
Biología y Medicina: Las ecuaciones de Navier-Stokes se aplican en la simulación del flujo sanguíneo y la dinámica de fluidos en el cuerpo humano. Esto es esencial para entender fenómenos como la hemodinámica y para diseñar dispositivos médicos, como stents y válvulas cardíacas.
Geofísica: Se utilizan para modelar la dinámica de fluidos en la Tierra y otros planetas. Esto incluye la simulación de la convección en el manto terrestre y el estudio de la dinámica atmosférica en diferentes escalas.
Problemas de Ingeniería Civil: En la ingeniería civil, las ecuaciones de Navier-Stokes son relevantes para analizar el comportamiento de fluidos en estructuras como presas, puentes y sistemas de abastecimiento de agua.

Referencias

https://www.nationalgeographic.com.es/ciencia/7-problemas-matematicos-millon-dolares_18751

White, Frank M. (2006), Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, ISBN 0-07-124493-X.

Heredia, D. (s. f.). Matemáticas fluidas. Roberto Rubio, Emilio Franco, ies beatriz de galindo, ies ramiro de maeztu, digoart, digo art, digo.art, diGo.aRt, diGo aRt, digoart.es, diego heredia, diego heredia heredia, mural, graffiti, graffiti y mates, mates, graffiti y matem�ticas, graffiti y matematicas, csic, Csic, CSIC, icmat, Icmat, ICMAT, Instituto de Ciencias Matem�ticas, Semana de la Ciencia. https://www.icmat.es/cultura/graffiti/ideas_basicas.html#:~:text=Las%20ecuaciones%20de%20Navier%2DStokes%20describen%20el%20movimiento%20de%20los,corrientes%20oce%C3%A1nicas%2C%20del%20magma%20terrestre%E2%80%A6

Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Presses polytechniques et universitaires romandes.

V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Los 7 problemas del milenio

https://aeifmx.com/yang-mills-y-el-salto-de-masa-mass-gap/
https://aeifmx.com/la-hipotesis-de-riemann/
https://aeifmx.com/el-problema-de-p-versus-np/